Materi Limit Fungsi Trigonometri Kelas 12 Peminatan

Materi Matematika SMA

Limit fungsi trigonometri memiliki definisi sebagai nilai terdekat suatu sudut dalam fungsi trigonometri. Perhitungan ini dapat disubstitusikan layaknya limit fungsi aljabar, tapi dengan fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu.

Dalam menyelesaikan permasalahan limit fungsi trigonometri sebenarnya sama saja seperti menyelesaikan limit fungsi aljabar, hanya saja diperlukan pemahaman lebih mendalam tentang materi trigonometri seperti identitas trigonometri, rumus jumlah dan selisih, sudut rangkap, dll.

Baik langsung saja kita bahas mengenai materi limit fungsi trigonometri. Berdasarkan definisi limit fungsi, Jika nilai <b>Limit Kiri = Limit Kanan=L</b> secara simbol dituliskan @$\lim\limits_{x \to  a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to  a^{-}}f(x)=L@$ maka nilai @$\lim\limits_{x \to  a}f(x)=L@$.

Teorema Dasar Limit Fungsi Trigonometri:

• @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x }{x} = 1 , \, \, @$ atau @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\sin x} = 1@$
• @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \tan x }{x} = 1 , \, \, @$ atau @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\tan x} = 1@$
• @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, @$ atau @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}@$
• @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \tan ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, @$ atau @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}@$
• @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, @$ atau @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}@$
• @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, @$ atau @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}@$

Limit fungsi trigonometri ini umumnya tingkat kesulitan bukan pada limit fungsi trigonometrinya tetapi lebih banyak kesulitan tentang trigonometri terkhusus Identitas Trigonometri Dasar.

Dalam menyelesaikan limit fungsi trigonometri juga berlaku sifat-sifat yang ada pada rumus limit fungsi aljabar.

TEOREMA LIMIT FUNGSI

Andaikan @$n@$ bilangan bulat positif, @$k@$ konstanta, dan @$f@$ dan @$f@$ dan @$g@$ adalah fungsi yang mempunyai limit di @$c@$. Maka berlaku:

• @$\lim\limits_{x \to c} k=k@$
• @$\lim\limits_{x \to c} c=c@$
• @$\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)@$
• @$\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)@$
• @$\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)@$
• @$\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)@$
• @$\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}@$ dimana @$\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0@$
• @$\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}@$
• @$\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}@$ dimana @$\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0@$ bilamana @$n@$ genap

Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar, trigonometri atau limit menuju tak hingga, langkah awalnya adalah substitusi langsung. Setelah dilakukan substitusi diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti @$\dfrac{0}{0}@$, @$\dfrac{\infty}{\infty}@$, @$0 \times  \infty@$, @$\infty - \infty@$, @$0^{0}@$, atau @$\infty^{\infty}@$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya selama tidak menyalahi aturan-aturan dalam matematika.

Baiklah, untuk lebih dapat memahami tentang materi limit fungsi trigonometri mari kita simah beberapa contoh soal berikut:

Contoh Soal 1 | SOAL EBATANAS SMA IPA 1998

Nilai @$\lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{x^{2}-25} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan identitas trigometri @$\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a@$ dan teorema limit @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{x^{2}-25} \\
& = \lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)} \\
& = \dfrac{\left( 4(5)-10 \right) \left( 1 \right)}{\left( 1 \right)\left( 5+5 \right)} \\
& = \dfrac{10}{10} = 1
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(C)\ 1@$

Contoh Soal 2 | SOAL EBATANAS SMA IPA 1996

Nilai @$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 4x + \sin 2x}{3x\ \cos x} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & 2
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan identitas trigometri @$\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a@$ dan teorema limit @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 4x + \sin 2x}{3x\ \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2\ \sin 3x\ \cos x}{3x\ \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2\ \sin 3x }{3x } \\
& = \dfrac{2 \cdot 3 }{3 }= 2
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(E)\ 2@$

Contoh Soal 3 | SOAL EBATANAS SMA IPA 2001

@$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+\sin 2x} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan identitas trigometri @$\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a@$ dan teorema limit @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+\sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+2\ \sin x\ \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x \left(1 + \cos x \right)} \\
& = \dfrac{2 }{2 \left(1 + \cos 0 \right)} \\
& = \dfrac{2 }{2 \left(1 + 1 \right)}=\dfrac{1 }{2}
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(D)\ \dfrac{1}{2}@$

Contoh Soal 4 | SOAL EBATANAS SMA IPA 2000

@$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -3 \\
(E)\ & -6
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan identitas trigometri @$\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a@$ dan teorema limit @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \cdots \dfrac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ \left( \sin 2x \right)\left( 3+\sqrt{2x+9} \right)}{9-(2x+9)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ \left( \sin 2x \right)\left( 3+\sqrt{2x+9} \right)}{-2x} \\
& = \dfrac{ \left( 2 \right)\left( 3+\sqrt{2(0)+9} \right)}{-2} \\
& = \dfrac{12}{-2}=-6
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(E)\ -6@$

Contoh Soal 5 | SOAL UN SMA IPA 2004

@$\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{x^{2}-3x-10} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{4}{3} \\
(B)\ & -\dfrac{4}{7} \\
(C)\ & -\dfrac{2}{5} \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan teorema limit @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{x^{2}-3x-10} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-5 \right)} \\
& = \dfrac{\left( -2+6 \right) (1) }{(1)\left( -2-5 \right)} \\
& = \dfrac{4}{-7}
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(B)\ -\dfrac{4}{7}@$

Contoh Soal 6 | SOAL UN SMA IPA 2003

@$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -\sqrt{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(D)\ & \sqrt{2} \\
(E)\ & 2\sqrt{2}
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan identitas trigometri @$\cos 2a = cos^{2}\ a- sin^{2}\ a@$ dan teorema limit @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{cos^{2}\ x - sin^{2}\ x}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\left(\cos x + \sin x \right)\left(\cos x - \sin x \right)}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\left(\cos x + \sin x \right)}{1} \\
& = \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} =\sqrt{2}
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(D)\ \sqrt{2}@$

Contoh Soal 7 | SOAL UN SMA IPA 2002

@$\lim\limits_{x \to \infty } \sin \dfrac{1}{x} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & \infty \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}@$

Penyelesaian:

@$\begin{align}
\lim\limits_{x \to \infty } \sin \dfrac{1}{x} & = \sin \dfrac{1}{\infty} \\
& = \sin 0 = 0 \\
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(B)\ 0@$

Contoh Soal 8 | SOAL UN SMA IPA 2007

@$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & 1
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan identitas trigometri @$sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1@$ dan @$\cos 2a = cos^{2}\ a-sin^{2}\ a@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 2(3x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\left(cos^{2}\ (3x)-sin^{2}\ (3x) \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\left(1-sin^{2}\ (3x)-sin^{2}\ (3x) \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{2\ sin^{2}\ (3x) } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{2\ \sin (3x) \cdot \sin (3x) } \\
& = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3 } = \dfrac{1}{3}
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(D)\ \dfrac{1}{3}@$

Contoh Soal 9 | SOAL UN SMA IPA 2005

@$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x\ \cos 8x-\tan 2x}{16x^{3}} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -8 \\
(D)\ & -16 \\
(E)\ & -32
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan identitas trigometri @$\cos 2a = 1- 2sin^{2}\ a@$ dan teorema limit @$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x\ \cos 8x-\tan 2x}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( \cos 8x- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( \cos 2(4x)- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left(cos^{2}(4x)-sin^{2}\ (4x)- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( -2\ sin^{2}\ (4x) \right)}{16x^{3}} \\
& = \dfrac{2 \cdot (-2) \cdot 4 \cdot 4 }{16} = -4
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(A)\ -4@$

Contoh Soal 10 | SOAL UN SMA IPA 2016

@$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(E)\ & 0
\end{align}@$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan identitas trigometri @$sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1@$ dan @$\cos 2a = cos^{2}\ a-sin^{2}\ a@$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
@$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 2(2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}\ (2x)-sin^{2}\ (2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}\ (2x)-\left( 1-cos^{2}\ (2x) \right)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}\ (2x)-1+cos^{2}\ (2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2cos^{2}\ (2x)-2}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( cos^{2}\ (2x)-1 \right)}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( \cos (2x)-1 \right)\left( \cos (2x)+1 \right)}{-\left( \cos (2x)-1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( \cos (2x)+1 \right)}{-1} \\
& = \dfrac{2 \left( \cos 0+1 \right)}{-1} = \dfrac{2 \left( 1+1 \right)}{-1}=-4 \\
\end{align}@$

@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai @$(A)\ -4@$

Silahkan download Buku/Modul Limit Fungsi Trigonimetri lengkap di link berikut:

Download Buku/Modul

Semoga bermanfaat!