 |
| Materi Matematika SMA |
DEFINISI EKSPONEN (BILANGAN BERPANGKAT)
Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Eksponen yang mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah terkait dengan eksponen atau bilangan berpangkat;
Eksponen!
@$\begin{align}
a^{n} &= \underset{\text{perkalian sebanyak}\ n}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots \cdot a}} \\
n\ &: \text{Bilangan pangkat (Eksponen)} \\
a\ &: \text{Bilangan Pokok (Basis)} \\
0^{0}\ &=\ \text{tidak terdefinisi}
\end{align}@$
SIFAT-SIFAT EKSPONEN (BILANGAN BERPANGKAT)
Dari definisi bilangan berpangkat di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bilangan berpangkat yaitu:
- @$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}@$
- @$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}@$
- @$(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}@$
- @$a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}@$
- @$\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m}@$
- @$\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}@$ dengan @$a \neq 0@$
- @$\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}@$ dengan @$a \neq 0@$
- @$a^{0}=1@$ dengan @$a \neq 0@$
- @$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}@$
- Jika @$a^{f(x)}=a^{g(x)}@$ maka @$f(x)=g(x)@$
1. Soal UM UNDIP 2016 Kode 602 |
Bila @$x=36@$ dan @$y=125@$ maka nilai @$ \dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\ { \sqrt[3]{y^{2}}}}{y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{2}}} =\cdots@$
@$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{16}{216} \\ (B)\ & -\dfrac{25}{216} \\ (C)\ & -\dfrac{36}{216} \\ (D)\ & -\dfrac{49}{216} \\ (E)\ & -\dfrac{64}{216} \end{align}@$
Pembahasan:
Dengan sifat bilangan berpangkat dan sedikit catatan dari bentuk akar @$ \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}@$.
Dengan @$x=36=6^{2}@$ dan @$y125=5^{3}@$, maka dapat kita tuliskan:
@$\begin{align}
& \dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\ {\sqrt[3]{y^{2}}}}{y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{2}}} \\
&= \dfrac{\left( 6^{2} \right)^{-\frac{3}{2}}\ \left( 5^{3} \right)^{ \frac{2}{3}}}{\left( 5^{3} \right)^{\frac{1}{3}} - \left( 6^{2} \right)^{\frac{1}{2}}} \\
&= \dfrac{\left( 6^{-3} \right)\ \left( 5^{2} \right)}{\left( 5^{1} \right) - \left( 6^{1} \right)} \\
&= \dfrac{ 25 }{6^{3} \left( -1 \right)} \\
&= -\dfrac{25}{216}
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(B)\ -\dfrac{25}{216}@$
2. Soal SNMPTN 2010 Kode 336 |
Jika @$n@$ memenuhi @$\underset{n\ faktor}{\underbrace{25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}}=125}@$
maka @$(n-3)(n+2)=\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ &24 \\ (B)\ &26 \\ (C)\ &28 \\ (D)\ &32 \\ (E)\ &36
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25} &= 125 \\
5^{2(0.25)} \times 5^{2(0.25)} \times \cdots \times 5^{2(0.25)} \times 5^{2(0.25)} &= 125 \\
5^{0.5} \times 5^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 5^{0.5} &= 5^{3} \\
\left(5^{0.5}\right)^{n} &= 5^{3} \\
5^{\frac{1}{2}n} &= 5^{3} \\
\hline
0.5n &= 3 \\
n &=6 \\
(n-3)(n+2) &= (6-3)(6+2) \\
&=24
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(A)\ 24@$
3. Soal SPMB 2003 [Regional I] |
Nilai @$x@$ yang memenuhi persamaan @$3^{2x+3}=\sqrt[3]{27^{x+5}}@$ adalah@$\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{split}
3^{2x+3} &=\sqrt[3]{27^{x+5}}\\
3^{2x+3} &=27^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=(3^{3})^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=3^{x+5}\\
& \Rightarrow 2x+3=x+5\\
& \Rightarrow 2x-x=5-3\\
& \Rightarrow x=2
\end{split}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(E)\ 2@$
4. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |
Jika diketahui @$x@$ dan @$y@$ adalah bilangan real dengan @$x \gt 1@$ dan @$y \gt 0@$. Jika @$xy=x^{y}@$ dan @$\dfrac{x}{y}=x^{5y}@$, maka @$x^{2}+3y=\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & 29 \\ (B)\ & 28 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 26 \\ (E)\ & 25
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
xy &= x^{y} \\
y &= \dfrac{x^{y}}{x} \\
y &= x^{y-1}
\end{align}@$
@$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= x^{5y} \\
\dfrac{x}{x^{y-1}} &= x^{5y} \\
x &= x^{5y} \cdot x^{y-1} \\
x &= x^{6y-1} \\
& \Rightarrow 1=6y-1 \\
& \Rightarrow 2=6y \\
& \Rightarrow y=\dfrac{1}{3}
\end{align}@$
Jika kita substitusikan pers.(1) dan pers.(2) maka kita peroleh;
@$\begin{align}
y-1 &= 1-5y \\
6y &= 2 \\
y &= \dfrac{1}{3}
\end{align}@$
@$\begin{align}
xy &= x^{y} \\
x \cdot \frac{1}{3} &= x^{\frac{1}{3}} \\
x &= 3 x^{\frac{1}{3}} \\
x \cdot x^{-\frac{1}{3}} &= 3 \\
x^{ \frac{2}{3}} &= 3 \\
x^{2} &= 3^{3} \\
x^{2}+3y &= 3^{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = 28
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(B)\ 28@$
5. Soal SPMB 2005 Kode 470 |
Jika @$f(x)=2^{2x}+2^{x+1}-3@$ dan @$g(x)=2^{x}+3@$ maka @$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & 2^{x}+3 \\ (B)\ & 2^{x}+1 \\ (C)\ & 2^{x} \\ (D)\ & 2^{x}-1 \\ (E)\ & 2^{x}-3
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
\dfrac{f(x)}{g(x)} &= \dfrac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^{x}+3} \\
&=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3} \\
&=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}
\end{align}@$
Untuk mempermudah penglihatan, mungkin @$2^{x}@$ sementara bisa kita ganti menjadi @$m@$.
@$\begin{align}
\dfrac{f(x)}{g(x)} &= \dfrac{(m)^{2}+ m \cdot 2^{1}-3}{m+3} \\
&= \dfrac{m^{2}+2m-3}{m+3} \\
&= \dfrac{(m+3)(m-1)}{m+3} \\
&= m-1 \\
&= 2^{x}-1
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(D)\ 2^{x}@$-1
6. Soal SIMAK UI 2013 Kode 437 |
Diketahui bahwa @$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013@$ untuk setiap @$a,b,c,d,x,y,z@$ merupakan bilangan bulat positif dan @$w@$ bilangan bulat nonnegative dengan @$a \lt b \lt c@$. Nilai @$(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots@$
@$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 11 \\ (D)\ & 75 \\ (E)\ & 611
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 2013 \\
2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 3 \cdot 11 \cdot 61 \\
2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 2^{0} \cdot 3^{1} \cdot 11^{1} \cdot 61^{1}
\end{align}@$
Sehingga diperoleh; @$w=0@$, @$x=1@$, @$y=1@$, @$z=1@$, @$a=3@$, @$b=11@$, @$c=61@$
@$\begin{align}
&(2w)+(ax)+(by)+(cz) \\
&= (2 \cdot 0)+(3 \cdot 1)+(11 \cdot 1)+(61 \cdot 1) \\
&= 0+3+11+61 \\
&= 75
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(D)\ 2^{x}@$-1
7. Soal UM UGM 2017 Kode 814 |
Jika @$f(x)=b^{x}@$, @$b@$ konstanta positif, maka @$\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}=\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & f(1-x^{2}) \cdot f(1-x^{2}) \\ (B)\ & f(1-x^{2}) \cdot f(x^{2}-1) \\ (C)\ & f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1) \\ (D)\ & f(1-x^{2}) + f(1-x^{2}) \\ (E)\ & f(x^{2}-1) + f(x^{2}-1)
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
& \dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})} = \dfrac{b^{x^{2}-1}}{b^{1-x^{2}}} \\
&= \dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{-1}}{b^{1} \cdot b^{-x^{2}}} = \dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{x^{2}}}{b^{1} \cdot b^{1}} \\
&= \dfrac{b^{2x^{2}}}{b^{2}} = b^{2x^{2}-2} \\
&= b^{2(x^{2}-1)} = \left(b^{x^{2}-1} \right)^2 \\
&= \left(b^{x^{2}-1} \right) \cdot \left(b^{x^{2}-1} \right) \\
&= f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(C)\ f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)@$
8. Soal SIMAK UI 2014 Kode 511 |
Dalam basis 10, bilangan bulat positif @$p@$ memiliki @$3@$ digit, bilangan bulat positif @$q@$ memiliki @$p@$ digit, bilangan bulat positif @$r@$ memiliki @$q@$ digit. Nilai untuk terkecil untuk @$r@$ adalah@$\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & 10^{10^{100}} \\ (B)\ & 10^{10^{100}-1} \\ (C)\ & 10^{10^{99}} \\ (D)\ & 10^{10^{99}-1} \\ (E)\ & 10^{99^{99}}
\end{align}@$
Pembahasan:
Topik ini sebenarnya tidak murni tentang eksponen, tetapi karena pilihannya bilangan berpangkat para siswa melihat ini tentang bilangan berpangkat. Ada sedikit logika atau teori bilangan didalamnya.
Pada soal diinginkan agar nilai bilangan @$r@$ mempunyai nilai terkecil, maka bilangan @$q@$ kita juga harus bilangan terkecil. Sehingga bilangan @$p@$ juga harus memiliki nilai terkecil.
Bilangan @$p@$ terdiri dari @$3@$ digit, supaya mendapatkan @$p@$ bilangan terkecil maka angka pertama [ratusan] dipilih angka @$1@$ dan sisanya [puluhan dan satuan] dipilih angka nol sehingga @$p = 100= 10^{3-1} = 10^{2}@$
Bilangan @$q@$ terdiri dari @$100@$ digit, supaya mendapatkan @$q@$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka @$1@$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga @$q = 10^{100-1} = 10^{99}@$
Bilangan @$r@$ terdiri dari @$q@$ digit, supaya mendapatkan @$r@$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka @$1@$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga @$r = 10^{10^{99}-1}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(D)\ 10^{10^{99}-1}@$
9. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |
Nilai @$x@$ yang memenuhi @$\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}@$ adalah@$\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -\dfrac{8}{3} \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & -\dfrac{4}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{2}{3}
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}} &=16 \cdot 4^{x} \\
2^{x} &=2^{4} \cdot 4^{x} \cdot 4^{x+2} \\
2^{x} &=2^{4} \cdot 2^{2x} \cdot 2^{2x+4} \\
2^{x} &=2^{4+2x+2x+4} \\
2^{x} &=2^{4x+8} \\
x &=4x+8 \\
-3x &=8 \\
x &=-\dfrac{8}{3}
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(B)\ -\dfrac{8}{3}@$
10. Soal SIMAK UI 2015 Kode 563 |
@$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}=\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & 2013 \times 2015\\ (B)\ & 2015 \\ (C)\ & 2014 \\ (D)\ & 2013 \\ (E)\ & 1
\end{align}@$
Pembahasan:
Untuk mengerjakan soal ini agar penulisan dan pemfaktoran lebih mudah dioahami kita gunakan pemisalan, yaitu:
@$m=2014@$ sehingga @$m-1=2013@$ dan @$m+1=2015@$
@$\begin{align}
& \dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}
&=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-(m-1))}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+(m+1))}{(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-m+1)}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\
&=1
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(E)\ 1@$
11. Soal Latihan Matematika SMA |
Nilai dari @$\dfrac{1}{10^{-2017}+1}+\dfrac{1}{10^{-2016}+1}+\dfrac{1}{10^{-2015}+1}@$@$+\cdots+\dfrac{1}{10^{0}+1}+\cdots+@$@$\dfrac{1}{10^{2015}+1}+\dfrac{1}{10^{2016}+1}+\dfrac{1}{10^{2017}+1}@$ adalah...
@$\begin{align}
(A)\ & 2015,5\\ (B)\ & 2017,5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2017
\end{align}@$
Pembahasan:
Untuk mengerjakan soal ini jika kita kerjakan satu persatu pastinya akan melelahkan, karena penjumlahan pecahan sampai @$2017@$ kali, sehingga dibutuhkan kreatifitas, kita butuh pilar (pintar bernalar).
Kita coba dengan menjumlahkan yang kelihatan mirip penyebutnya yaitu:
@$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2017}+1}+\dfrac{1}{10^{2017}+1} \\
&=\dfrac{10^{2017}+1}{(10^{-2017}+1)(10^{2017}+1)}+\dfrac{10^{-2017}+1}{(10^{-2017}+1)(10^{2017}+1)} \\
&=\dfrac{10^{2017}+1+10^{-2017}+1}{10^0+10^{2017}+10^{-2017}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2017}+10^{-2017}}{1+10^{2017}+10^{-2017}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2017}+10^{-2017}}{2+10^{2017}+10^{-2017}} \\
&=1
\end{align}@$
@$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2016}+1}+\dfrac{1}{10^{2016}+1} \\
&=\dfrac{10^{2016}+1}{(10^{-2016}+1)(10^{2016}+1)}+\dfrac{10^{-2016}+1}{(10^{-2016}+1)(10^{2016}+1)} \\
&=\dfrac{10^{2016}+1+10^{-2016}+1}{10^0+10^{2016}+10^{-2016}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2016}+10^{-2016}}{1+10^{2016}+10^{-2016}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2016}+10^{-2016}}{2+10^{2016}+10^{-2016}} \\
&=1
\end{align}@$
@$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2015}+1}+\dfrac{1}{10^{2015}+1} \\
&=\dfrac{10^{2015}+1}{(10^{-2015}+1)(10^{2015}+1)}+\dfrac{10^{-2015}+1}{(10^{-2015}+1)(10^{2015}+1)} \\
&=\dfrac{10^{2015}+1+10^{-2015}+1}{10^0+10^{2015}+10^{-2015}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2015}+10^{-2015}}{1+10^{2015}+10^{-2015}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2015}+10^{-2015}}{2+10^{2015}+10^{-2015}} \\
& =1
\end{align}@$
Dari hasil diatas, jika kita jumlahkan dua pasangan pecahan yang penyebutnya "kelihatan hampir sama" maka kita peroleh hasilnya adalah @$1@$, dan soal diatas ada sebanyak @$2017@$ pasangan bilangan.
Pecahan @$\dfrac{1}{10^{0}+1}@$ tidak punya pasangan, tetapi nilainya dapat kita hitung yaitu @$\dfrac{1}{10^{0}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}@$. Hasil akhir dari soal diatas adalah @$2017+\dfrac{1}{2}=2017,5@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(B)\ 2017,5@$
12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |
Solusi persamaan @$5^{2x+1}=10^{2x-1}@$ adalah...
@$\begin{align}
(A)\ & {}^2\!\log 25 \\ (B)\ & {}^2\!\log 50 \\ (C)\ & {}^4\!\log 25 \\ (D)\ & {}^4\!\log 50 \\ (E)\ & {}^5\!\log 4
\end{align}@$
Pembahasan:
Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar, seperti berikut ini;
@$\begin{align}
5^{2x+1} &= 10^{2x-1} \\
5^{2x} \cdot 5^{1} &= 10^{2x} \cdot 10^{-1}\ (\times 10) \\
5^{2x} \cdot 50 &= 10^{2x} \\
50 & = \dfrac{10^{2x}}{5^{2x}} \\
50 & = \left( \dfrac{10}{5}\right)^{2x} \\
50 & = 2^{2x} \\
50 & = 4^{x} \\
\end{align}@$
Dengan sedikit sentuhan dari logaritma yaitu @$a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c@$ maka dapat kita simpulkan @$50 = 4^{x} \Leftrightarrow {}^4\!\log 50=x@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(D)\ {}^4\!\log 50 @$
13. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |
Bentuk sederhana dari
@$\dfrac{\left (x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}{\left (x^{\frac{4}{3}}-x \right )\left (x+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}@$ dengan @$x \neq 0@$ adalah...
@$\begin{align}
(A)\ & x^{-\frac{1}{3}} \\ (B)\ & x^{\frac{1}{3}} \\ (C)\ & x^{\frac{2}{3}} \\ (D)\ & x^{-\frac{2}{3}} \\ (E)\ & x^{\frac{1}{2}}
\end{align}@$
Pembahasan:
Pangkat pecahannya coba kita samakan penyebutnya terlebih dahulu, bisar lebih cepat proses penjumlahannya;
@$\begin{align}
& \dfrac{\left (x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}{\left (x^{\frac{4}{3}}-x \right )\left (x+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )} \\
& = \dfrac{\left (x^{\frac{2}{6}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{6}{6}} \right )\left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )}{\left (x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{6}{6}} \right )\left (x^{\frac{6}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )} \\
& = \dfrac{\left (x^{\frac{5}{6}}+x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{4}{6}}-x^{\frac{7}{6}} \right ) \left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )}{\left (x^{\frac{14}{6}}+x^{\frac{10}{6}}+x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{10}{6}}\right )} \\
& = \dfrac{ x^{\frac{8}{6}}+x^{\frac{7}{6}}+x^{\frac{9}{6}}+x^{\frac{11}{6}}+x^{\frac{10}{6}}+x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{7}{6}}-x^{\frac{6}{6}}-x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{10}{6}}-x^{\frac{9}{6}}-x^{\frac{11}{6}} }{x^{\frac{14}{6}} -x^{\frac{8}{6}} } \\
& = \dfrac{x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{6}{6}}}{x^{\frac{14}{6}} -x^{\frac{8}{6}} } \\
& = \dfrac{x^{\frac{6}{6}} \left (x^{\frac{6}{6}}-1 \right )}{x^{\frac{8}{6}}\left (x^{\frac{6}{6}} -1 \right ) } \\
& = \dfrac{x^{\frac{6}{6}} }{x^{\frac{8}{6}}} \\
& = x^{\frac{6-8}{6}}=x^{-\frac{2}{3}}
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(D)\ x^{-\frac{2}{3}}@$
14. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |
Jika @$4^{x}-4^{x-1}=6@$ maka @$(2x)^x@$ sama dengan
@$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 3\sqrt{3} \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 9\sqrt{3} \\ (E)\ & 27
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
4^{x}-4^{x-1} & = 6 \\
4^{x}-4^{x} \cdot 4^{-1} & = 6\ (\times 4)\\
4 \cdot 4^{x}- 4^{x} & = 24 \\
4^{x} \left( 4 - 1 \right) & = 24 \\
4^{x} \left(3 \right) & = 24 \\
4^{x} & = 8 \\
2^{2x} & = 2^{3} \\
2x & = 3\ \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}
\end{align}@$
@$\begin{align}
(2x)^{x} & = \left( 2 \cdot \dfrac{3}{2} \right)^{\dfrac{3}{2}} \\
& = \left( 3 \right)^{\dfrac{3}{2}} \\
& = 3 \cdot 3^{\dfrac{1}{2}} \\
& = 3 \sqrt{3}
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(B)\ 3\sqrt{3}@$
15. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |
Diketahui bahwa @$3^{(y-x)}(x+y)=1@$ dan @$(x+y)^{(x-y)}=3@$, nilai @$x^{3y}=\cdots@$
@$\begin{align}
(1)\ & -\dfrac{1}{9} \\ (2)\ & \dfrac{1}{9} \\ (3)\ & 2 \\ (4)\ & 8
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
3^{(y-x)}(x+y) & = 1 \\
(x+y) & = \dfrac{1}{3^{(y-x)}} \\
(x+y) & = 3^{-(y-x)} \\
(x+y) & = 3^{(x-y)} \\
(x+y)^{(x-y)} & = 3 \\
3^{(x-y)^{(x-y)}} & = 3 \\
3^{(x-y)(x-y)} & = 3 \\
(x-y)^{2} & = 1\ \\
(x-y) & = \pm 1
\end{align}@$
@$\begin{align}
(x-y)=1 \rightarrow (x+y)^{(x-y)} & = 3 \\
(x+y)^{1} & = 3^{1} \\
(x+y) & = 3 \\
(x-y)=-1 \rightarrow (x+y)^{(x-y)} & = 3 \\
(x+y)^{-1} & = 3^{1} \\
(x+y) & = \dfrac{1}{3}
\end{align}@$
@$\begin{array}{c|c|cc}
x-y = 1 & \\
x+y = 3 & (+)\\
\hline
2x = 4 & \\
x = 2 & y=1\\
\hline
x^{3y} = 2^{3(1)} =8
\end{array} @$
@$\begin{array}{c|c|cc}
x-y = -1 & \\
x+y = \dfrac{1}{3} & (+) \\
\hline
2x = -\dfrac{2}{3} & \\
x = -\dfrac{1}{3} & y= \dfrac{2}{3}\\
\hline
x^{3y} = \dfrac{1}{3}^{3 \left( \frac{2}{3} \right)} =\dfrac{1}{9}
\end{array} @$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(C)\ (2)\ \dfrac{1}{9} \text{dan}\ (4)\ 8@$
16. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |
Jika @$2^{(x+2)}+4^{(x+1)}=48@$ nilai dari @$\dfrac{1}{x+1} =\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & { }^3\!\log 2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{14} \\ (C)\ & { }^2\!\log 3 \\ (D)\ & { }^2\!\log 6 \\ (E)\ & 3 \\ \end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
2^{(x+2)}+4^{(x+1)} & = 48 \\
2^{x} \cdot 2^{2}+4^x \cdot \cdot 4^{1} & = 48 \\
2^{x} +4^x & = 12 \\
2^{x} +2^(2x) & = 12 \\
2^{x} \left(1+2^{x} \right) & = 12 \\
2^{x} \left(2^{x}+1 \right) & = 3(4) \\
2^{x} & = 3 \\
x & = { }^2\!\log 3
\end{align}@$
Jika cara di atas kurang paham, coba alternatif berikut:
Saat @$2^{x} +2^(2x)= 12@$ kita misalkan @$a=2^{x}@$
@$\begin{align}
2^{x} +2^(2x) & = 12 \\
a +a^(2) & = 12 \\
a^(2)+a-12 & = 0 \\
(a+4)(a-3) & = 0 \\
a & = -4\ \\
2^{x} & = -4\ (TM) \\
a & = 3 \\
2^{x} & = 3 \\
x & = { }^2\!\log 3
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(C)\ { }^2\!\log 3@$
17. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |
Nilai @$1-x@$ yang memenuhi persamaan @$\sqrt{8^{3-x}}=4 \cdot 2^{1-2x}@$ adalah...
@$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \\ \end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
\sqrt{8^{3-x}} &= 4 \cdot 2^{1-2x} \\
8^{\dfrac{3-x}{2}} &= 2^{2} \cdot 2^{1-2x} \\
2^{ \dfrac{3(3-x)}{2}} &= 3-2x \\
9-3x &= 6-4x \\
4x-3x &= 6-9 \\
x &= -3 \\
1- x &= 1-(-3) =4
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(E)\ 4@$
18. Soal SBMPTN 2013 Kode 327 |
Jika @$8^{m}=27@$, maka @$2^{m+2}+4^{m}=\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & 12 \\ (B)\ & 15 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 21 \\ (E)\ & 24
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
8^{m} & = 27 \\
m & = { }^8\!\log 27 \\
m & = { }^{2^{3}}\!\log 3^{3} \\
m & = \dfrac{3}{3} \cdot { }^2 \!\log 3 \\
m & = { }^2\!\log 3 \\
2^{m+2}+4^{m} & = 2^{m} \cdot 2^{2} + 2^{2m} \\
& = 2^{{ }^2\!\log 3} \cdot 4 + 2^{2 \cdot { }^2\!\log 3} \\
& = 3 \cdot 4 + 2^{ { }^2\!\log 3^{2}} \\
& = 12 + 9=21
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(D)\ 21@$
19. Soal SBMPTN 2013 Kode 125 |
Jika @$9^{m-1}+9^{m+1}=82@$, maka @$4^{m+1}=\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{16} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 64
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
9^{m-1}+9^{m+1} & = 82 \\
9^{m} \cdot 9^{-1}+9^{m} \cdot 9^{ 1} & = 82 \\
9^{m} \left( 9^{-1}+ 9 \right) & = 82 \\
9^{m} \left( \dfrac{82}{9} \right) & = 82 \\
9^{m} & = 82 \cdot \left( \dfrac{9}{82} \right) \\
9^{m} & = 9 \\
m & = 1 \\
4^{m+1} & = 4^{1+1}=16
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(D)\ 16@$
20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 |
@$\dfrac{5^{4022}-5^{4018}}{5^{4020}-5^{4016}}=\cdots@$
@$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & \dfrac{25}{4} \\ (D)\ & \dfrac{25}{2} \\ (E)\ & 25
\end{align}@$
Pembahasan:
@$\begin{align}
\dfrac{5^{4022}-5^{4018}}{5^{4020}-5^{4016}} &= \dfrac{5^{4018} \left( 5^{4} -1 \right)}{5^{4016} \left( 5^{4} -1 \right)} \\
&= \dfrac{5^{4018} }{5^{4016} } \\
&= 5^{4018-4016} \\
&= 5^{2}=25
\end{align}@$
@$\therefore@$ Pilihan yang sesuai adalah @$(E)\ 25@$
2 Komentar
wah makasih untuk materi eksponen matematika Jasa Cleaning Service
BalasHapusSama-sama gan
Hapus