Pembahasan Soal OSK/OSN-K Matematika SMA Tahun 2023 #Part 11

Pembahasan OSN-K Matematika SMA 2023

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Masih dengan pembahasan soal OSN-K Matematika SMA tahun 2023, sekarang mari kita bahas soal nomor 7 kemampuan lanjutan.

Soal No. 11 (#OSN-K 2023)

Misalkan ABCD segiempat talibusur dengan lingkaran luar $\omega$ dan BC = CD. Diagonal AC dan BD berpotongan di titik E dan diketahui bahwa BE = 8 dan DE = 5. Jika garis singgung $\omega$ di titik A memotong perpanjangan diagonal BD di titik P, maka $\frac{PD}{PB}$ dapat dituliskan dalam bentuk $\frac{m}{n}$ dengan $m$, $n$ bilangan asli yang relatif prima. Nilai dari $m+n$ adalah ….

Pembahasan:

Mari kita perhatikan gambar berikut:

Karena $BC = CD$, maka $\angle BAC = \angle CAD$, akibatnya $AC$ merupakan garis bagi $\angle BAD$. Sehingga pada segitiga $ABD$ garis $AE$ merupakan garis bagi, maka berlaku: $\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DE}=\frac{8}{5}$.

Titik A merupakan titik singgung PA pada $\omega$, sehingga berlaku sudut lancip antara garis singgung dengan tali busur melalui titik singgung besarnya sama dengan sudut keliling menghadap tali busur tersebut, sehingga $\angle{PAD}=\angle{PBA}$. Perhatikan juga $\angle{APD}=\angle{APB}$. Jadi Segitiga $APD$ sebangun dengan segitiga $APB$, maka diperoleh perbandingan $\frac{PD}{PA}=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{8}$

Dari power of point di dapat $PA^2 = PD\cdot PB$. Karena $\frac{PD}{PA}=\frac{5}{8} \rightarrow PA=\frac{8}{5}PD$, maka:

$PA^2 = PD\cdot PB$
$(\frac{8}{5}PD)^2 = PD\cdot PB$
$\frac{64}{25}PD^2 = PD\cdot PB$
$\frac{64}{25}PD = PB$
$\frac{PD}{PB} = \frac{25}{64}$

Sehingga $\frac{PD}{PB} = \frac{25}{64}= \frac{m}{n}$, $m=25$ dan $n =64$

Jadi $m+n=25+64=89$

Jawaban: 89