 |
| Pembahasan OSN-K Matematika SMA 2023 |
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Masih dengan pembahasan soal OSN-K Matematika SMA tahun 2023, sekarang mari kita bahas soal nomor 7.
Soal No. 7 (#OSN-K 2023)
Diberikan segitiga lancip ABC dengan AB = 12 dan AC = 10 dan D suatu titik pada sisi BC. Misalkan E dan F menyatakan titik-titik berat segitiga ABD dan ACD. Jika luas segitiga DEF adalah 4, maka panjang sisi BC adalah @$\sqrt{n}@$ dengan @$n@$ = ….
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Misal: @$[ABG]=[AGD]=a@$ dan @$[ADH]=[AHC]=b@$
Dari teorema garis berat diperoleh:
@$\frac{DI}{DA}=\frac{1}{3} dan \frac{EF}{GH}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{[DEF]}{[AGH]}= \frac{2}{9}@$
Sehingga:
@$[DEF]=\frac{2(a+b)}{9}=4@$
@$a+b=18@$
@$[ABC]=2(a+b)=36@$
Dengan menggunakan trigonometri diperoleh:
@$[ABC]=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin{\angle BAC}@$
@$36=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 10\cdot \sin{\angle BAC}@$
@$\frac{3}{5}=\sin{\angle BAC}@$
Karena @$\angle BAC@$ lancip maka @$\cos {\angle BAC} = \frac{4}{5}@$, sehingga dengan menggunakan aturan Cosinus diperoleh:
@$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos {\angle BAC} @$
@$(\sqrt{n})^2=12^2+10^2-2\cdot 12\cdot 10\cdot \frac{4}{5} @$
@$n=144+100-192 @$
@$n=52 @$
Jawaban: 52
0 Komentar