Pembahasan Soal OSK/OSN-K Matematika SMA Tahun 2023 #Part 8

Pembahasan OSN-K Matematika SMA 2023

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Masih dengan pembahasan soal OSN-K Matematika SMA tahun 2023, sekarang mari kita bahas soal no 8.

Soal No. 8 (#OSN-K 2023)

Sisa pembagian @${5}^{2022}+{11}^{2023}@$ oleh 64 adalah ….

Pembahasan:

@$5^{2022}+11^{2023}= x \mod(64)@$
@$x@$ adalah sisa pembagian oleh 64

Konsep: cari @$a^p=1\mod(64)@$

@$5^1=5\mod(64)@$
@$5^2=25\mod(64)@$
@$5^3=61\mod(64)@$
@$5^4=49\mod(64)@$
@$5^5=53\mod(64)@$
@$5^6=9\mod(64)@$
@$5^7=45\mod(64)@$
cari sampai
@$5^{16}=1\mod(64)@$

Sehingga: @$2022 = 16\cdot 126+6@$
@$5^{2022}=5^{16\cdot 126+6} \mod(64)@$
@$5^{2022}=5^{16\cdot 126}\cdot5^{6} \mod(64)@$
@$5^{2022}=1\cdot5^{6} \mod(64)@$
@$5^{2022}=9\mod(64)@$

Selanjutnya:
@$11^1=11\mod(64)@$
@$11^2=57\mod(64)@$
@$11^3=51\mod(64)@$
@$11^4=49\mod(64)@$
@$11^5=27\mod(64)@$
@$11^6=41\mod(64)@$
@$11^7=3\mod(64)@$
cari sampai
@$11^{16}=1\mod(64)@$

Sehingga: @$2023 = 16\cdot 126+7@$
@$11^{2023}=11^{16\cdot 126+7} \mod(64)@$
@$11^{2023}=11^{16\cdot 126}\cdot11^{7} \mod(64)@$
@$11^{2023}=1\cdot11^{7} \mod(64)@$
@$11^{2023}=3\mod(64)@$

Jadi:

@$5^{2022}+11^{2023}=9\mod(64)+ 3\mod(64)@$
@$5^{2022}+11^{2023}=9+3\mod(64)@$
@$5^{2022}+11^{2023}=12\mod(64)@$
Jadi sisanya adalah 12

Jawaban: 12

Bila sobat punya jawaban yang berbeda boleh dong berbagi di kolom komentar. Semoga bermanfaat!